图网络：从谱域卷积到空域卷积

通过 f 1 ( t ) ☆ f 2 ( t ) = F − 1 [ F 1 ( w ) ⋅ F 2 ( w ) ] f_1(t)☆f_2(t) = F^{-1}[F_1(w) \cdot F_2(w)] f1​(t)☆f2​(t)=F−1[F1​(w)⋅F2​(w)] 其中 f 1 ( t ) f_1(t) f1​(t)表示空域输入的信号， f 2 ( t ) f_2(t) f2​(t)表示空域的卷积核， F 1 ( w ) F_1(w) F1​(w)表示频域输入信号， F 2 ( w ) F_2(w) F2​(w)表示频域卷积核， F − 1 F^{-1} F−1表示傅里叶反变换。 即先将空域信息转换到谱域，然后相乘后，利用傅里叶反变换转回到空域。

如上图， L L L拉普拉斯矩阵，可以进行分解为特征向量和特征值表示。进行图卷积时，首先 x x x通过 U T U^T UT进行傅里叶变换转换到谱域，然后通过 g θ ( ⋅ ) g_\theta(\cdot) gθ​(⋅)进行类似卷积操作，然后通过 U U U转换回空域获得结果。

1.不适合有向图，但是现实生活大部分并非无向图，即 W i j ≠ W j i W_{ij}≠W_{ji} Wij​​=Wji​，且若当图傅里叶无法使用，空域信息无法变为谱域信息，则图卷积也无法进行。 2.由于拉普拉斯的特征矩阵 U U U的不可变性，导致训练时，图的结构也不可以变化（边的权重，增删节点），但是现实生活中，往往图（社交网络数据）无时无刻不在变化。 3.以上的图谱网络卷积，SCNN计算量大，耗时；ChebNet和GCN虽然不需要图谱分解，但是用于学习的参数太简单，降低了模型的复杂度的同时也降低了性能。

谱域图卷积： 有图谱理论和卷积定理，将数据从空域转到谱域在操作，基础理论坚实。 空域图卷积： 不依靠图谱理论，直接在空间定义卷积操作。直观却缺少理论依据。

各类网络都有链接具体说明：

1.GNN GNN的做法是将一个图结构的数据强行变化为一个类似规则的数据，从而实现1维的卷积。

2.GraphSAGE 通过采样和信息聚合来完成卷积操作，并且和GNN观点不同的是，聚合函数与输入的顺序无关，即邻域的结点无序。

3.GAT GAT认为卷积可定义为利用注意力机制（attention）对邻域节点的有区别的聚合。

4.PGC PGC认为卷积可以当做是特定的取样函数（sample function）与特定的权重函数（weight function）相乘后求和。

对比： GNN，GraphSAGE和GAT都不要求固定的图结构，即训练集和测试集的图结构可以不同。 PGC泛化能力较以上三种更强，虽然实验运用在固定的骨架图数据上，但是应当也是不需要固定图结构的。

1.绕开了 图谱理论，无需将信号在空域和谱域之间转换；

2.直接在空域上定义卷积操作，更加直观；

3.没有图谱理论的束缚，定义更加灵活，方法更加多样；

4.和谱域图卷积相比，缺少数学理论支撑。